Aljabar Boolean menyediakan operasi dan aturan untuk bekerja dengan himpunan {0, 1}. Akan dibahas 3 buah operasi :
• komplemen Boolean,
• penjumlahan Boolean , dan
• perkalian Boolean
Komplemen Boolean dituliskan dengan bar/garis atas dengan aturan sebagai berikut
01= dan 10=
Penjumlahan Boolean dituliskan dengan + atau OR, mempunyai aturan sbb :
1 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 0 + 0 = 0
Sedangkan perkalian Boolean yang dituliskan dengan “⋅” atau AND, mempunyai aturan sbb:
1 ⋅ 1 = 1, 1 ⋅ 0 = 0, 0 ⋅ 1 = 0, 0 ⋅ 0 = 0
Definisi. Misalkan B = {0, 1}. Suatu variabel x disebut sebagai variabel Boolean jika hanya memiliki nilai dari B. Fungsi dari Bn, yaitu himpunan {(x1, x2, …, xn) | xi∈B,1 ≤ i ≤ n}, disebut sebagai fungsi Boolean berderajat n.
Fungsi Boolean dapat dinyatakakan dengan ekspresi yang dibentuk dari variabel dan operasi Boolean. Ekspresi Boolean dengan variabel x1, x2, …, xn didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:
• 0, 1, x1, x2, …, xn adalah ekspresi Boolean.
• Jika E1 dan E1 ekspresi Boolean, maka 1E, (E1⋅ E2), dan (E1 + E2) adalah ekspresi Boolean.
Setiap ekspresi Boolean menyatakan fungsi Boolean. Nilai fungsi ini diperoleh dengan menggantikan 0 dan 1 pada variabel di dalam ekspresi. Kita bisa membuat ekspresi Boolean
9. Aljabar Boole- 1
dalam variabel x, y, dan z dengan bangunan dasarnya 0, 1, x, y, dan z, dengan aturan konstruksi:
Karena x dan y ekspresi Boolean, maka x⋅y juga ekspresi Boolean.
Karena z ekspresi Boolean, maka z juga ekspresi Boolean.
Karena xy dan zekspresi Boolean, maka x⋅y + z juga ekspresi Boolean.
… dst…
• komplemen Boolean,
• penjumlahan Boolean , dan
• perkalian Boolean
Komplemen Boolean dituliskan dengan bar/garis atas dengan aturan sebagai berikut
01= dan 10=
Penjumlahan Boolean dituliskan dengan + atau OR, mempunyai aturan sbb :
1 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 0 + 0 = 0
Sedangkan perkalian Boolean yang dituliskan dengan “⋅” atau AND, mempunyai aturan sbb:
1 ⋅ 1 = 1, 1 ⋅ 0 = 0, 0 ⋅ 1 = 0, 0 ⋅ 0 = 0
Definisi. Misalkan B = {0, 1}. Suatu variabel x disebut sebagai variabel Boolean jika hanya memiliki nilai dari B. Fungsi dari Bn, yaitu himpunan {(x1, x2, …, xn) | xi∈B,1 ≤ i ≤ n}, disebut sebagai fungsi Boolean berderajat n.
Fungsi Boolean dapat dinyatakakan dengan ekspresi yang dibentuk dari variabel dan operasi Boolean. Ekspresi Boolean dengan variabel x1, x2, …, xn didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:
• 0, 1, x1, x2, …, xn adalah ekspresi Boolean.
• Jika E1 dan E1 ekspresi Boolean, maka 1E, (E1⋅ E2), dan (E1 + E2) adalah ekspresi Boolean.
Setiap ekspresi Boolean menyatakan fungsi Boolean. Nilai fungsi ini diperoleh dengan menggantikan 0 dan 1 pada variabel di dalam ekspresi. Kita bisa membuat ekspresi Boolean
9. Aljabar Boole- 1
dalam variabel x, y, dan z dengan bangunan dasarnya 0, 1, x, y, dan z, dengan aturan konstruksi:
Karena x dan y ekspresi Boolean, maka x⋅y juga ekspresi Boolean.
Karena z ekspresi Boolean, maka z juga ekspresi Boolean.
Karena xy dan zekspresi Boolean, maka x⋅y + z juga ekspresi Boolean.
… dst…
· Misalkan terdapat
- Dua operator biner: + dan ×
- Sebuah operator uner: ’.
- B : himpunan yang didefinisikan pada opeartor +, ×, dan ’
- 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.
Tupel
(B, +, ×, ’)
disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c Î B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:
1. Closure: (i) a + b Î B
(ii) a × b Î B
2. Identitas: (i) a + 0 = a
(ii) a × 1 = a
3. Komutatif: (i) a + b = b + a
(ii) a × b = b . a
4. Distributif: (i) a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
(ii) a + (b × c) = (a + b) × (a + c)
5. Komplemen[1]: (i) a + a’ = 1
(ii) a × a’ = 0
· Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan:
1. Elemen-elemen himpunan B,
2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner,
3. Memenuhi postulat Huntington.
Aljabar Boolean Dua-Nilai
Aljabar Boolean dua-nilai:
- B = {0, 1}
- operator biner, + dan ×
- operator uner, ’
- Kaidah untuk operator biner dan operator uner:
Tidak ada komentar:
Posting Komentar